Théorème des accroissements finis :
Soit \(f:[a,b]\to\Bbb R\) une fonction continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\)
Alors $$\exists c\in]a,b[\text{ tq } {{f(b)-f(a)}}={{f'(c)(b-a)}}$$
(Continuité, Dérivabilité)
Démonstration :$$\begin{align}&\text{on introduit :}\\ &h:[a,b]\longrightarrow\Bbb R\\ &x\longmapsto (f(b)-f(a))x-(b-a)f(x)\\ &\text{montrons que }\forall x\in[a,b],h(x)=0\\ \\ &h\text{ est continue sur }[a,b]\text{ et est dérivable sur }]a,b[\\ &\text{de plus, }\\ &h(a)=(f(b)-f(a))a-(b-a)f(a)\\ &=af(b)-\cancel{af(a)}-bf(a)+\cancel{af(a)}\\ &h(b)=(f(b)-f(a))b-(b-a)f(b)\\ &=\cancel{bf(b)}-bf(a)-\cancel{bf(b)}+af(b)\\ \\ &\text{donc d'après le théorème de Rolle,}\\ &\exists c\in[a,b],h'(c)=0\\ &\text{or }h'(x)=f(b)-f(a)-(b-a)f'(x)\\ &\implies f(b)-f(a)-(b-a)f'(c)=0 \end{align}$$
(Théorème de Rolle)
Corollaire : Inégalité des accroissements finis (Une variable)
Théorème des accroissements finis :
Soit \(f: U\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathscr C^1\) sur un ouvert \(U\subset{\Bbb R}^2\)
Si le segment \([a,b]\subset U\), alors il existe \(c\in]a,b[\) tel que $$f(b)-f(a)=\langle\operatorname{grad} f(c)\mid b-a\rangle$$
(Classe de fonctions, Ouvert, Gradient, Produit scalaire)
Théorème des accroissements finis :
$${{f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)}}={{h\frac{\partial f}{\partial x}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)+k\frac{\partial f}{\partial y}(x_0+\theta h,y_0+\theta k)}}$$
avec \(\theta\in]0,1[\)
Preuve : se ramener au cas d'une variable
Corollaire : Inégalité des accroissements finis (Plusieurs variables)
Corollaire du théorème des accroissements finis :
Soit \(f:U\to{\Bbb R}\) de classe \(\mathscr C^1\) sur \(U\) connexe
Si \(\operatorname{grad} f(x,y)=(0,0)\) pour tout \((x,y)\in U\),
Alors \(f\) est une fonction constante sur \(U\)
(Classe de fonctions, Ensemble connexe, Gradient, Fonction constante)